在数学分析中,介值定理(英语:intermediate value theorem,又称中間值定理)描述了连续函数在两点之间的连续性:
- 假设
为一连续函数。若一实数
满足
,则存在一实数
使得
。
介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明,在这个证明中,他附带证明了波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理。
介值定理图解
设
,其中
,且
为一连续函数。则下列叙述成立:
- 对任意满足
的实数
,皆存在一实数
使得
。
为一包含
与
的闭区间。
先证明第一种情况
;第二种情况也类似。
设
为
内所有
的集合,使得
。那么
是非空的,因为
是
的一个元素,且
是上有界的,其上界为
。于是,根据实数的完备性,最小上界
一定存在。我们来证明
。
- 假设
。那么
,因此存在
,使得当
时,就有
,因为
是连续函数。但是,这样一来,当
时,就有
(也就是说,对于
内的
,
皆
)。但参照上述定义,因为
, 因此存在
,使得
, 所以我们有:
并且
, 这显然是矛盾的。
- 假设
。根据连续性,存在一个
,使得当
时,就有
。那么对于
内的
,都有
,因此存在大于
的
,使得
,这与
的定义矛盾。
因此
。
与实数完备性的关系[编辑]
此定理仰赖于实数完备性,它对有理数不成立。例如函数
满足
,但不存在满足
的有理数
。
零点定理(波尔查诺定理)[编辑]
零点定理是介值定理的一种特殊情况-如果曲线上两点的值正负号相反,其间必定存在一个根:
- 设函数
在闭区间
上连续,且
,则必存在
使
成立。由于零点定理可用来找一方程式的根,也称为勘根定理。伯纳德·波尔查诺于1817年证明了这个定理,同时证明了这个定理的一般情况(即介值定理)。以现代的标准来说,他的证明并不算是非常严格。[1]
现实世界中的意义[编辑]
介值定理意味着在地球的任何大圆上,温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度(或其他任何连续变化的变量),总存在两个对跖点,在这两个点上该变量的值是相同的。
证明:取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线,与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度,将得到值−d。根据介值定理,一定存在某个旋转角,使得d = 0,在这个角度上便有f(A) = f(B)。
这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。
参考资料[编辑]
外部链接[编辑]